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Matemática Hoje - Calculadoras
Explorando o uso da Calculadora no ensino de Matemática para jovens e adultos.

 Problemas realmente reais e números mal comportados
 Calculadoras uma ferramenta em extinção ?
 Arquitetura das calculadoras.
 Teclado e visor
 As teclas numéricas, de operação e o visor.
 As Teclas de Memória
 A tecla de operador constante
 A calculadora possibilita o estudo de conceitos complexos antes reservados às séries mais avançadas.
 A calculadora pode ser utilizada para desenvolver habilidades de estimativa e cálculo mental.
 Calculadora como ferramenta para a investigação matemática.
 Atividades
 Considerações Finais
 Bibliografia
 

Centro de Educação Matemática (CEM)
[artigo publicado na revista Alfabetização e Cidadania, 1997]

Dentro de 10 ou 15 anos a ação humana de calcular estará em franca extinção, as calculadoras de hoje serão peças de museus. Quais serão as novas ferramentas, os novos problemas e os novos conteúdos ? Preparar indivíduos para este cenário, queiramos ou não, é um desafio que qualquer educador(a) tem que enfrentar.

Demorou mas, enfim chegou. O debate, engasgado, sobre o uso da calculadora no ensino de matemática, por fim ocupa a atenção, agora com mais visibilidade, daqueles(as) que se dedicam à educação matemática em especial da educação de adultos. Antes tarde do que nunca. Não se trata de uma questão nova, Malba Tahan em seu Didática da Matemática (1961) já propunha que os cálculos trabalhosos e intrincados fossem feitos por máquinas de calcular, isto num tempo que as máquinas eram movidas a manivela. Mais recentemente há registros de diversas experiências com educandos adultos explorando calculadoras no ensino de matemática como são as da Profra. Gelsa Knijnik com os trabalhadores sem terra do Rio Grande do Sul e as do prof. Eduardo Sebastiane com povos indígenas do Brasil Central, só para citar alguns membros da comunidade da Educação Matemática brasileira.

Houve um tempo em que o argumento para não explorar a calculadora no ensino era que se tratava de um objeto caro cuja prioridade não se colocava (?¿). claro que tal justificativa era frágil, uma desculpa sem pé nem cabeça atropelada pelos fatos. Atualmente uma calculadora comum custa menos do que um maço de cigarros e além do mais não polui nem faz mal à saúde. Este discurso com aparentes intenções sociais, só serviu para aumentar ainda mais o fosso entre dirigentes, com acesso ao conhecimento e a tecnologia, e os dirigidos privados na escola, do acesso e domínio desta mesma tecnologia. Mas o que sempre emperrou uma tomada de posição mais firme sobre presença das calculadoras no ensino foram as crenças, desprovidas de investigação consistente, de que alunos e alunas, não importa a faixa etária ou condição social, ".. ficariam preguiçosos", ".. desaprenderiam os algoritmos" e ".. deixariam de raciocinar" caso usassem calculadoras na escola. Isto é tanto verdade como o velho mito de que "manga com leite faz mal à saúde".

Porém não bastou combater estes mitos, muitos educadores libertos da idéia de que a calculadora no ensino não traz malefícios, inverteram a questão:

Mas se o estudo da matemática com calculadoras não faz mal, por que faria bem ?
Taí uma boa questão para refletir e tomar posição a fim de se ajustar aos tempos atuais.

A calculadora possibilita aos indivíduos enfrentar os problemas realmente reais com seus números verdadeiros, tal como aparecem na vida cotidiana e nas atividades profissionais, números mal comportados, com muitas casas decimais ou aquelas frações com seus denominadores esquisitos.

Em nossa tradição curricular desenvolveu-se o mal hábito de "esconder o perigo", isto é, a realidade é mascarada em nome de uma certa facilitação, assim os textos didáticos, em sua maioria, evitam colocar seus leitores frente às situações com seus números verdadeiros, atualizados e realísticos no sentido que propõem os trabalhos de Freudenthal. Entretanto os indivíduos deste nosso mundo real, ao abrir um jornal, consultar uma tabela ou ler um relatório o que encontram pela frente são números como 365 (número de dias de um ano); preços como R$ 3,72 por quilo de um certo corte de carne; porcentagens do tipo 0,25% que é o desconto do tal IPMF; ou ainda fatores como 1,0234 para corrigir uma certa prestação. Os números mal comportados são implacáveis para todos que administram os descontos de seus salários para pagar suas contas cotidianas.

Qualquer nível de ensino deve promover a aproximação da atividade matemática com a realidade onde estão os problemas com que nos defrontamos.



Por outro lado, as operações com os chamados números mal comportados são trabalhosas e demoradas se utilizados os algoritmos usuais. Os sistemas financeiros e administrativos dos setores comercial, industrial e de serviços que dominam a maioria das atividades profissionais já se deram conta disto há décadas, e cálculos como1,0234xR$ 38,57são feitas por máquinas, calculadoras ou computadores, pela rapidez e economia de tempo que proporcionam. No mundo atual saber fazer cálculo com lápis e papel é uma competência com importância relativa que deve conviver solidariamente com outras modalidades de cálculo como estimar, calcular mentalmente e usar adequadamente uma calculadora simples. Os indivíduos não podem ser privados de operar e dominar uma tecnologia que interfere em suas vidas. Esse processo evolutivo é histórico, hoje são as calculadoras e computadores, ontem foram as tabelas e as réguas de cálculo, amanhã só especulando, as máquinas leitoras de barras com seus sensores óticos estão aí para instigar nossa imaginação. Devemos fazer bom proveito das calculadoras enquanto elas forem úteis e ainda estiverem à nossa disposição.

O uso da calculadora possibilita que os indivíduos, libertos da parte enfadonha, repetitiva e pouco criativa dos algoritmos de cálculo, centrem sua atenção nas relações entre as variáveis dos problemas que tem pela frente. Possibilita ainda que possam verificar, fazer hipóteses, familiarizar-se com certos padrões e fatos, utilizando-os como ponto de referência para enfrentar novas situações. Libertos da execução do cálculo os indivíduos se aventuram com mais disponibilidade a colocar as coisas em relação; esboçar, simular e executar projetos; investigar hipóteses. Em outras palavras, um bom uso dos instrumentos de cálculo contribui para que os indivíduos desenvolvam estruturas cognitivas de mais alto nível.



Se estamos de acordo que o uso da calculadora tem o poder de oxigenar a atividade matemática, então é importante aprender a conhecer a natureza do objeto calculadora , compreender seus mecanismos e tirar o máximo proveito de sua arquitetura e funções.

De comum a maioria das calculadoras permitem realizar as quatro operações básicas, daí em diante tudo vai depender da arquitetura dos sistemas de cada uma com suas capacidades de memória, funções e outros atributos. Há uma grande diversidade de calculadoras disponíveis. Para conhecer uma calculadora e suas possibilidades recomenda-se explorar certas atividades, cada uma com objetivos específicos.

Comunicamos às calculadoras o que queremos fazer através do teclado. A calculadora comunica o que está realizando ou o que realizou através do visor. Uma calculadora simples, tem teclas numéricas, de operações, memória e de limpeza.

As teclas numéricas não têm segredos, as de operações é que diferem de acordo com o modelo. Para os objetivos deste artigo omitirei uma discussão sobre operações e funções especiais para concentrar o fóco do texto nas calculadoras básicas.

Quanto ao visor, de modo geral, comporta 8 posições.

As calculadoras científicas ou financeiras podem ter 10 ou 12 posições.

Uma vez que a quantidade de dígitos que comporta o visor é limitada, não é possível obter o valor verdadeiro de um número com mais do que sete casas decimais (no caso das calculadoras elementares), como é o caso do número 0,123456789 ou ainda de dízimas periódicas ou números irracionais, sendo assim as calculadoras só podem exibir aproximações, truncando ou arredondando.

Para saber se uma calculadora trunca ou arredonda pode-se propor aos alunos(as) tentar obter o resultado de frações (associando-as à divisão) cujas expansões decimais sabemos que são infinitas, como 1/3 ou 2/3.

Ao teclar 1,3 o visor vai exibir 0.3333333
Neste caso não é possível saber se a máquina truncou ou arredondou.
Teclando 2,3 o visor vai exibir 0.6666666 se truncar ou 0.6666667 se arredondar.

Atente para o fato de que a exploração da calculadora para compreender seu funcionamento possibilita mergulhar os alunos(as) na introdução ou aprofundamento de conceitos ou procedimentos tais como : frações, números decimais, representações numéricas, idéias de operações, dízimas, aproximações, etc.

As calculadoras tem dispositivos conhecidos como Memória. As memórias da calculadora são ativadas através do teclado.
Numa calculadora simples há 3 tipos de teclas de memória.

A memória aditiva é ativada quando a tecla M+ é apertada.

Ao apertar esta tecla pela primeira vez a calculadora guarda o número registrado no visor, na memória que funciona como uma espécie de acumulador.
Quando apertada pela segunda ou terceira vez a calculadora adiciona o número registrado no visor ao conteúdo que está acumulado na memória.

A memória subtrativa, é ativada quando é apertada a tecla M- (M- ou M- dependendo do modelo). Esta tecla executa uma tarefa semelhante à anterior, entretanto ao acioná-la o valor registrado no visor é subtraído do conteúdo acumulado na memória.
Como recuperar ou chamar o conteúdo acumulado na memória ?
A tecla que recupera o acumulado na memória, pode ser identificada por qualquer uma das seqüências de letras seguintes, dependendo do modelo: RM, MR, MRC ou RCL.

 RM : (Recall Memory : chamar a memória)
 MR : (Memory Recall)
 RCL : (Recall)
 MRC : (Memory Recall and Clear : chama a memória e limpa)

algumas formas de tecla de memória:

Investigações mostraram que a maioria dos adultos que utilizam calculadoras desconhecem a função das teclas de memória e não as utilizam.

 Hoje grande liquidação
 cada lápis: R$ 0,30
 um bloco de papel: R$ 0,75
 uma calculadora: R$ 1,20

Eis aqui uma situação comum parecida com muitas das que encontramos pela frente. Suponha que você precisa comprar três dúzias de lápis, 15 blocos de papel e 18 calculadoras para um curso sobre "uso inteligente das calculadoras de bolso". O cálculo que deve ser feito para encontrar o gasto total é:

36 x 0,30 + 15 x 0,75 + 18 x 1,20


Nos cálculos à mão com lápis e papel, costuma-se fazer 4 contas:

36 x 0,30 que dá o que você vai gastar com os lápis;
15 x 0,75 que dá o que você vai gastar com os blocos de papel;
18 x 1,20 que dá o que será gasto com as calculadoras;

Por fim deve-se somar os resultados para obter o gasto total.
Utilizando as teclas de memória obtém-se o gasto total teclando a seguinte seqüência de teclas:

36 x 0.30 = M+ 15 x 0.75 = M+ 18 x 1.20 M+ MR


 Tecla  Visor  Acumulado na Memória  O que a máquina está fazendo
 3  3  0  
 6  36  0  
 x  36  0  
 0  0  0  
 .  0.  0  
 3  0.3  0  
 0  0.30  0  
 =  10.8  0  
 M+  10.8  10.8  Envia o valor 10.8 registrado no visor
 para a memória
 1  1  10.8  
 5  15  10.8  
 x  15  10.8  
 0  0  10.8  
 .  0.  10.8  
 7  0.7  10.8  
 5  0.75  10.8  
 =  11.25  10.8  
 M+  11.25  22.05  Soma o valor 11.25 registrado no visor a 10.8
 que está acumulado na memória
 1  1  22.05  
 8  18  22.05  
 x  18  22.05  
 1  1  22.05  
 .  1.  22.05  
 2  1.2  22.05  
 =  21.6  22.05  
 M+  21.6  43.65  Soma o valor 21.6 registrado no visor a 22.05
que está acumulado na memória
 MR  43.65  43.65  Exibe o valor acumulado na memória

radiografia da calculadora em ação


Se você deu uma nota de R$ 50,00 e pretende saber quanto vai receber de troco, basta acionar a sequência: 50 M+ 36 x 0.30 = M- 15 x 0.75 = M- 18 x 1.20 M- MR
O resultado 6.35 deve surgir no visor em menos de 30 segundos.

Algumas calculadoras exigem que, antes de enviar o resultado de uma operação para a memória deve-se teclar = para obter o resultado da operação, caso contrário ela envia o último registro. Há outras máquinas que efetuam o cálculo tão logo se tecla M+ ou M-.

As teclas de limpeza, como está indicado pelo nome servem para limpar os conteúdos do visor ou da memória.

As teclas C ou CE limpam a última entrada digitada. Para limpar o conteúdo acumulado na memória deve-se teclar MC ou CM. As teclas AC (All Clear) ou CA limpam todos os registros:

Ainda na fase da aprendizagem do funcionamento das calculadoras, merece destaque o tópico sobre a hierarquia das operações.

Tente executar, na ordem em que estão escritas, as operações da expressão:

2 + 3 x 5

Um matemático seguro da velha ordem das coisas em que primeiro vem as operações multiplicativas e depois as aditivas esperaria 17 como resultado. Mas a maioria das calculadoras vai exibir o número 25, isto porque a arquitetura interna dos circuitos necessita de espaço de memória, assim as calculadoras estão programadas a executar os cálculos na ordem em que eles são teclados.
 Passo  Teclas  Visor O que a calculadora fez
 I  2  2 registrou a primeira parcela, o 2
 II  +  2 a calculadora espera a segunda parcela a ser somada à primeira
 III  3  3 registrou a segunda parcela
 IV  x  5 realizou o cálculo 2 + 3
 V  5  5 registrou o fator 5
 VI  =  25 realizou a multiplicação de 5 (passo IV) pelo fator 5 (passo V)

É importante reconhecer este fato para poder fazer um bom uso das calculadoras. Imagine um conferencista que controla os valores de uma tabela com cinco colunas de entrada, com uma mão ele opera a calculadora e com a outra ele anota o resultado final, na última coluna:

A B C D Preço  
147,28 23,47 237 237   P = (A + B) / (C + D)

Para obter o preço é necessário calcular 147,28 +23,47
                                                                   237+378

Sabendo que a calculadora não segue a ordem usual das operações, tal como aprendemos na escola, a sequência de teclas a serem acionadas afim de produzir o resultado diretamente no visor é: 237 + 378 = M+ 147,28 + 23,47 = ÷s MR



Um importante recurso das calculadoras é a tecla de operador constante, desconhecida da maioria das pessoas, incluindo aí usuários tradicionais como bancários e professores. A tecla de operador constante é a tecla [=].

O que acontece se você teclar: 2 + 3 = = = = = .
Teclas acionadas : 2 + 3 = = = = = . .
                                        \   \  \   \   \
aparece no visor :            5 8 11 14 17

Teclando 3 + 2 = = = = = . . a sequência gerada é 5, 7, 9, 11, 13, . .
O que ocorre se trocarmos a operação ?
Teclas acionadas : 2 x 3 = = = = = .
                                        \   \  \   \   \
aparece no visor :            6 12 24 48 96

Teclando 3 x 2 = = = = = . . a sequência gerada é 6, 18, 54, 162, 486. .
Este recurso é bastante útil para enfrentar certos problemas que envolvem taxas fixas. Imagine um país que tem inflação mensal média de 20% ao mês aproximadamente, de quando em quando os preços dobram ?
Se tomamos uma das idéias da porcentagem, a de taxa, o fator multiplicativo 1,2 permite obter o valor final de um produto após o aumento de 20%.

Teclando 1,2 x = = = = = . .
O fator 1,2 funciona como operador constante, basta ficar de olho no visor para saber quando é que se atinge o número 2. Contando o número de tecladas do "=" (na primeira teclada obtemos 1,22=1,44). Na virada do 4º para o 5º mês os preços dobram.

Este artifício serve também para prever quando uma dívida em que incidem juros à uma taxa de 10% ao mês, vai dobrar. Aqui o fator multiplicativo que corrige a dívida é 1,1. Fazendo 1.1 x = = = = = = = descobrimos que em 7 meses somos duplamente mais devedores.



Com o recurso da tecla de fator constante os juros compostos deixam de ser assunto inacessível para qualquer indivíduo que tenha uma cultura mínima sobre números racionais e porcentagem.

Com uma calculadora simples é possível obter a raiz quadrada, cúbica, quarta, quinta de qualquer número real a ( 0 < a < 100.000.000).

Certos profissionais utilizam raízes quadradas ou cúbicas para avaliar medidas. Seja por exemplo um pedreiro que tem que avaliar as dimensões de um reservatório aproximadamente cúbico com 2000 m3 de capacidade. Não existe a tecla 3Ö nas calculadoras elementares. O problema pode ser resolvido pelo método das aproximações sucessivas. Para elevar um número x ao cubo teclamos: x x = =

1ª tentativa: x x3 Resultado Comentário
15 15 x = = 3375 é muito
12 12 x = = 1728 é pouco
13,5 13,5 x = = 2460,375 é muito
12,8 12,8 x = = 2097,152 Passou
12,6 12,6 x = = 2000,376 Quase
12,5 12,5 x = = 1953,125 é pouco
12,55 12,55 x = = 1976,656375 é pouco
12,58 12,58 x = = 1990,865512 é pouco
12,59 12,59 x = = 1995,616979 é pouco

Sabemos que 12,59 < 3Ö2000 < 12,6

Para as necessidades do pedreiro é possível que a informação 12 < 3Ö2000 <; 13, baste.



Na escola tradicional atual o cálculo mental e as estimativas perderam prestígio, provavelmente devido à onda "modernista" que assolou a maior parte do mundo nos anos 60 e 70. Paradoxalmente nesta virada de século quando é possível realizar cálculos complexos num apertar de dedos em uma fração de segundo, outras modalidades de cálculo ganham importância. Chamarei aqui de competências de cálculo às capacidades dos indivíduos para estimar, fazer cálculo mental, compreender as operações e executar os algoritmos e por fim operar com inteligência uma calculadora. Uma vez que as máquinas realizarão os cálculos caberá aos indivíduos controlá-los.

Uma análise superficial do cotidiano de uma pessoa comum (não especialista), vamos nos dar conta de que são cada vez mais escassas as situações em que se tem que realizar um cálculo na ponta do lápis, por outro lado, fazemos com freqüência estimativas e cálculos de cabeça. Rareiam os indivíduos que tem o hábito de conferir todas as contas (extratos bancários, notas de supermercados, contas de luz, ..), dada a confiança mítica que as máquinas provocam. Entretanto é comum ver uma pessoa controlando seus extratos ou contas com um simples passar de olhos.

Para a maior parte das necessidades cotidianas basta saber que 123,76 + 875,33 é aproximadamente 1000. Este é um ponto importante, qualquer proposta de ensino que pretenda levar os alunos(as) a aprender a realizar cálculos tem que equilibrar a relação entre essas quatro modalidades de cálculo.

A estimativa pode ser potencializada com o auxílio da calculadora.

Atividade 1) Determine, sem fazer os cálculos, o menor intervalo que contém o resultado.

Limite inferior Conta Limite superior
72 (12x6=72) 12,345 x 6,789 90 (13x7 = 91)
199 (123+67+10-1) 123,45 + 67,8 + 9,12 210
1150 (1230-80) 1234,56 - 78,9 1160 (1240-80=1160)
20 (860÷43=20) 987,65÷43,21 23 (860÷43=20)

Os alunos escolhem os intervalos e em seguida utilizam a calculadora para conferir se suas estratégias para estimar resultados está refinada.

Atividade 2) Dê o valor aproximado de Ö78,35 ou um intervalo que o contém.

Aqui é importante ter pontos de referência como 64 e 81 que são quadrados perfeitos.
Ö64 < Ö78,35 < Ö81, então 8 < Ö78,35 < 9 é um bom intervalo.

Tal como na atividade 1), calculadora é utilizada para confirmar e valorar a estratégia utilizada.
O cálculo mental pode ser explorado através de atividades que põe em evidência as propriedades operatórias, tais como:

Atividade 3) Realize os cálculos abaixo sem acionar as teclas indicadas como "quebradas":

Operação Tecla Quebrada Soluções Comentários
23 x 8 8 23 x 4 x 2
23 x 7 + 23
Decomposição do 8 em 4x2.Propriedade distributiva.23x(7 + 1).
65 - 17 - 17 + 50 = 67
17 + 48 = 65
Idéia de completar para a subtração. Estratégia de tentativa e erro.
1432 ÷ 13 ÷ 1432 - 13 = = = .. Idéia da divisão como subtração sucessiva, a contagem do número de vezes em que a tecla "=" é acionada antes de zerar dá o quociente.
34,57 x 12,125 , 3457 x 12125 ÷ 10000 Explicitação e significatividade para o algoritmo clássico: o produto de um número 100 vezes maior por outro 1000 vezes maior resulta num número 10000 vezes maior.
Encontrar o resto de 1432 ÷ 13 ?    

Este último problema, sobre o resto na divisão, não se refere à uma tecla quebrada, mas sim à um tipo de problema que as calculadoras comuns não tem estrutura (refiro-me à arquitetura dos circuitos) para resolver, uma vez que e o visor é único e não tem duas saídas para exibir o quociente e o resto. Entretanto o problema pode ser resolvido desde que resgatemos as principais idéias da divisão e a estrutura do algoritmo usual. Acompanhe.

Ao teclar 1432 ÷ 13 =
Obtém-se no visor o número 110.15384
A partir daí, há duas estratégias que permitem obter o resto:

a) 110x13 = 1430
1432 - 1430 = 2
O resto é 2

Esta estratégia realça a estrutura do algoritmo:

D ¦ d       D = Qxd + R,
    ---                    logo
R    Q      R = D - Qxd

b) 110.15384
110.15384 - 110 = 0.15384
0.15384 x 13 = 1.99992
O resto é 2.

Esta estratégia realça o significado da parte decimal como sendo o resto dividido pelo divisor. Conhecendo os limites das calculadoras comuns que, em sua maioria, truncam, pode-se entender que 1.99992 é uma aproximação do resto que sempre é um número inteiro.

Aí está, do que foi visto até agora a calculadora contribuiu, e muito, para a consolidação de conceitos e procedimentos aritméticos, o que coloca abaixo o mito de que não se raciocina quando se utiliza a calculadora, ao contrário se não se raciocina os problemas aqui colocados não são resolvidos. Caberá ao professor(a) preparar-se e decidir como utilizará a calculadora, se para introduzir conceitos e procedimentos ou aprofundá-los através de atividades e problemas significativos.



O mundo atual exige rapidez e habilidades para enfrentar e resolver situações complexas do cotidiano. Um cidadão comum, aquele não especialista, não pode estar apto ao exercício pleno desta cidadania se não conseguir avaliar uma informação e/ou situação para posterior tomada de decisão. Uma atividade simples como a leitura de um jornal exige uma série de recursos matemáticos que propiciam a interpretação adequada das manchetes e informações veiculadas.

Considere por exemplo o anúncio de uma medida governamental que destina R$ 10 bilhões do orçamento para o Ministério da Educação. Como saber se se trata de uma boa medida ? A informação pura e simples pode não significar nada se não puder ser colocada em relação com outras informações, dados e fatos.

A verba é para ser gasta em quanto tempo ?
Quanto foi destinado no ano anterior ?
Qual é o orçamento dos outros ministérios ?
Que parte isto corresponde da arrecadação ?
Quanto porcento é isto do PIB nacional ?
Que porcentagem do PIB outros países destinam para a educação ?
Dá para cobrir as necessidades reais de educação do país ?

Uma leitura crítica dos jornais instrumentalizada com recursos matemáticos condição necessária para avaliar se o anuncio governamental representa um avanço ou um retrocesso.

Uma outra situação bastante comum nos dias atuais é ter que tomar decisões sobre qual é a melhor opção de compra.

Uma loja de eletrodomésticos está anunciando uma liquidação.

Fogão novo Preço: R$ 600,00
Formas de pagamento: - em 3 prestações: 40% na entrada e o restante em duas vezes.
   ou
- à vista com 25% de desconto

E agora qual é a melhor opção ?

Novamente para decidir bem é necessário colocar estes dados em relação com outros.

Quais são os juros praticados no mercado ?
Qual é a taxa de inflação do período ?
Que porcentagem do meu salário corresponde o preço à vista ?

Outro tipo de situação refere-se a personagens cada vez mais freqüentes que desavisados e seduzidos pela propaganda da TV, passam a "investir" seus preciosos salários em loterias e concursos fraudulentos que prometem o paraíso.

Como avaliar a chance de ser sorteado ?
Como saber se as chances são iguais para todos ?
Qual é a esperança de ganho ?

As três situações acima são corriqueiras e representam apenas uma pequena amostra do universo de eventos em que o uso da calculadora potencializa tomadas de decisão rápidas e seguras. Saber calcular porcentagens, proporções e probabilidades faz parte do acervo de capacidades intelectuais de nosso tempo e é essencial para o exercício da cidadania.

Passemos então à exploração de situações problema com o auxilia da calculadora.

Situação 1) Voltemos à situação da compra do fogão.

Em 3 prestações
40% é uma das representações da fração centesimal 40/100 cuja representação decimal é 0,4
40% de 600 eqüivale a calcular 0,4x600.
Assim para avaliar qual a melhor maneira de comprar o fogão basta teclar a sequência:

Operações Realizadas   0.4 x 600   (600 - 240) ÷ 2  
Teclas Apertadas
. 4 x 6 0 0
M+
6 0 0 - MR ÷ 2
=
O que aparece no visor
0. 0.4 0.4 6 60 600
240
6 60 600 600 240 240 2
180


Pronto ! Os 40% de entrada correspondem a R$ 240,00 e cada uma das prestações R$ 180,00

>À vista
25% de 600 eqüivale a 25/100 de 600, que por sua vez eqüivale a 0,25x600

Operações Realizadas 0.25 x 600     600 - 150  
Teclas Apertadas
. 2 5 x 6 0 0
= M+
6 0 0 - MR
=
O que aparece no visor
0. 0.2 0.25 0.25 6 60 600
150 150
6 60 600 600 150
450

O preço à vista é de R$ 450,00

Porém este último cálculo pode ser simplificado, para isto basta considerar que se foi dado um desconto de 25% então o novo preço do fogão vai ser 75% (100% - 25%), ou seja o preço total menos o desconto.

Então para se obter o preço diretamente basta calcular 0,75x600.

Esta última estratégia é mais econômica pois na anterior foram acionadas 15 teclas e nesta última apenas 8.

Vejamos outras situações envolvendo solidariamente porcentagens, proporções e probabilidade.

Situação 2) Numa banca de frutas 6 dúzias de laranjas custam R$ 4,00, na outra 4 dúzias são custam R$ 3,00 e na última 10 dúzias de laranjas são oferecidas por R$ 6,00. Em qual das bancas o preço está mais em conta ?

Este problema pode ser resolvido comparando as razões:
 4 ,  2 e  6  
 6   4   10 

Usamos a calculadora para obter a forma decimal de cada razão:
4 ÷ 6 = 0,66... 3 ÷ 4 = 0,75.. 6 ÷ 10 = 0,6.

O melhor é comprar laranjas da última banca.

Situação 3) Um trabalhador recebe R$ 824,00 de salário mensal, está prevista uma gratificação de 12%. Quanto ele vai receber de salário líquido lembrando que são descontados 10% de encargos ?

Solução: 824 corresponde a 100% do salário com mais 12% o montante vai ser 112% (que eqüivale a 112/100 ou 1,12)

Então para calcular o salário bruto basta calcular 1,12x824 = 922,88
Para calcular o salário líquido basta descontar os encargos :
100% - 10% = 90% (90 / 100 ou 0,9)
0,9x922,88 = 830,592

Arredondando temos que o salário líquido vai ser de R$ 830,60

Situação 4) Este mesmo trabalhador pagar R$ 254,00 de aluguel. Que porcentagem do seu salário líquido corresponde o aluguel ?

No caso se quer saber que parte 254 é de 830,26. Ao calcular a razão 254,00,
  830,60
efetuando 254 ÷ 830.6 na calculadora obtemos 0.305803 no visor ou
30,5803
100

Portanto o aluguel corresponde a 30,58% do salário líquido.

Cálculo de probabilidades com a calculadora

Situação 4) Num lote de 200 peças de uma pequena indústria, observou-se que 14 são defeituosas. Que porcentagem do lote corresponde as peças defeituosas ?

14 ÷ 200 = 0,07
0,07 eqüivale a 7/100 o que quer dizer que 7% da pecas do lote são defeituosas.
Suponha que esta média se mantém sempre que se escolhe um lote deste tamanho, então podemos dizer que a probabilidade de encontrar uma peça defeituosa num lote qualquer é de 7%.

Situação 5) Sabe-se que num carregamento de peças de uma outra fábrica há 27 peças defeituosas e 423 peças boas. Qual é a chance de escolher uma peça qualquer ao acaso e esta ser defeituosa ?

Total de peças: 423 + 27 = 450
Razão entre peças defeituosas e total de peças: 27/450 --------> 27¸450=0,06

neste caso a probabilidade de escolher uma peça defeituosa é de 6%

Qual é então a chance de escolher ao acaso uma peça boa ?

423/450 = 0,94 ou 94 % (6%+94% =100% como era de se esperar).

Quanto a saber se a verba destinada para a educação é suficiente ... !??

Pegue sua calculadora e decida por si mesmo.



É claro que este artigo não esgota as possibilidades de trabalho com a calculadora, porém este ficaria incompleto se não fizesse referência às possibilidades de investigação matemática com o auxílio da calculadora.

Parece até paradoxal, a calculadora enquanto objeto matemático por excelência tem um uso e uma função utilitária ilimitada, entretanto ela pode e deve ser usada com finalidades nada utilitárias, voltadas para aspectos recreativos de forte componente afetiva e estética associadas à investigação matemática. Acompanhe a seguinte atividade inspirada nos livros de matemática recreativa de Malba Tahan:

Quadrados invertíveis.
Pense um número qualquer;
Eleve-o ao quadrado;
Inverta o ordem do resultado;
Ache a raiz quadrada deste número;
Inverta a ordem do resultado.

Se o número obtido é o número que você pensou então ele é um quadrado invertível.

Acompanhe os passos.
Um número : 12
seu quadrado: 122 = 144
invertendo a ordem dos algarismos: 441
a raiz quadrada de: 21
invertendo a ordem do resultado: 12

Ahá !
12 e 21 tem quadrados invertíveis.



1) Descreva alguma condição para que um quadrado perfeito seja invertível.
2) Estude entre as dezenas menores do que 20 quais tem quadrados invertíveis.
(Solução 132 = 169 e 961 = 312 )
3) Mostre que 1022 e 2012 são quadrados invertíveis.
4) Mostre que 1122 e 2112 são quadrados invertíveis.
5) Descubra outros quadrados invertíveis.

Estas atividades ilustram alguns dos aspectos do que se entende que seja a atividade de investigação no ensino da matemática.



As idéias aqui discutidas sobre calculadoras são apenas uma amostra de um conjunto bastante rico de atividades significativas cujo propósito é levar os indivíduos de qualquer idade, sexo ou condição social a extrair o máximo de suas capacidades cognitivas. Cabe ao professor(a) explorar por si as calculadoras e as atividades a elas associadas para propor aos alunos situações didáticas que os preparem verdadeiramente para enfrentar problemas reais que encontram na escola, no trabalho ou nas atividades cotidianas. Devemos estar preparados(as) para desafios bem mais complexos que já estão colocados pela presença cada vez maior das novas tecnologias em nossas vidas. Cabe à escola, formal ou não, ter os olhos no futuro para melhor agir sobre o presente. Nesse presente não há mais lugar para o adestramento de alunos(as) para resolver problemas ou executar técnicas obsoletas. A aceitação das calculadoras no ensino põe tudo isto em questão:
    novos problemas
  /  
Novas ferramentas -->    
  \  
    novos conteúdos (conceituais e procedimentais)

No que se refere especificamente à formação de adultos, cabe alertar para a tentação utilitária que caracteriza a maioria das experiências. Se por um lado é fato que o adulto, por já estar inserido no mundo do trabalho e portanto, deve estar preparado para resolver os problemas "técnicos" próprios de suas atividades profissionais, de outro merece atenção a mudança do perfil profissional exigido pelo desenvolvimento da tecnologia, neste novo cenário ganham espaço aqueles indivíduos com formação para a diversidade, preparados para enfrentar problemas novos, com capacidades para simular, fazer relações complexas, articular variáveis, elaborar modelos, investigar, codificar e decodificar, se comunicar, tomar decisões, aprender por si. Todos estes atributos são necessários para a formação do homem de hoje não importa se ele é marceneiro, metalúrgico, bancário ou empresário. Uma conseqüência disto é que atividades com objetivos estritos de desenvolver o pensamento matemático, tal como proposto nos exemplos de exploração das propriedades de suporte do cálculo mental ou ainda no tópico final sobre investigação matemática, devem ter seu lugar ao sol, na hora de selecionar e organizar os problemas e conteúdos a serem trabalhados.

Dentro de 10 ou 15 anos a ação humana de calcular estará em franca extinção, as calculadoras de hoje serão peças de museus. Quais serão as novas ferramentas, os novos problemas e os novos conteúdos ? Preparar indivíduos para este cenário, queiramos ou não, é um desafio que qualquer educador(a) tem que enfrentar.



Abelló, Frederic Udina i. Aritmética y calculadora. Editorial Sintesis. Madrid. 1989.
Bigode, Antonio J. L. Matemática Atual. Atual Editora. São Paulo (coleção de 5ª a 8ª série com vários capítulos sobre o uso de calculadoras). 1995.
Gimenez, J. y Girondo, L. Cálculo en la Escuela. Graó. Barcelona. 1993.
Lins, R. e Gimenez, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI. Papirus. Campinas. 1997.
Castro, E. y otros. Estimacion en calculo y medida. Editorial Sintesis. Madrid. 1989.

 
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