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Devemos ensinar frações?

Peter Hilton

1. Introdução

Naturalmente, a questão não deve ser interpretada tão literalmente - certamente nós devemos ensinar frações como parte do currículo elementar. Mas é minha convicção que nós não devemos ensinar frações do modo que tem sido ensinadas e ainda são ensinadas. Realmente, se a questão fosse "Nós ainda precisamos ensinar frações como elas são ensinadas hoje, na maioria dos programas elementares?", então a questão pode ser interpretada literalmente e minha resposta seria "Não, na verdade, nós nunca deveríamos ter ensinado frações deste modo".

Na próxima seção, apontarei cinco defeitos fundamentais da abordagem tradicional do ensino de frações. Nem todos os programas exibem defeitos, mas eu posso declarar, depois de uma cuidadosa pesquisa dos textos de uso comum hoje, que todos exibem alguns desses defeitos, e alguns exibem todos. Eu procurei, na seção 3, uma abordagem diferente para o ensino de frações. Naturalmente eu não pretendo ser original em todas as minhas sugestões - especialmente, reconheço que o uso dos conceitos de probabilidade para motivar a aritmética de frações é agora recomendado quase universalmente, embora eu ache que alguns textos só aparentem seguir estas recomendações.

A abordagem que eu estou propondo pode, naturalmente, ser inferida, em grande parte, da descrição dos defeitos que a precede. Contudo, eu faço, no final do artigo, algumas sugestões novas para o ensino de frações como uma parte da Matemática e estas sugestões não são imediatamente dedutíveis do conteúdo da seção 2. Afirmo que por medo, aversão ou talvez por princípios errados, nós tendemos a ensinar a aritmética de frações exclusivamente como uma habilidade, sem dar nenhuma atenção à riqueza de seu conteúdo matemático. Um bom currículo certamente colocaria mais ênfase na matemática e utilidade da aritmética de frações e menos na pura técnica de manipulação.

2. Os defeitos do atual currículo com relação às frações

a) Aplicações enganosas:
A manipulação de frações presta-se, imediatamente, a aplicações sensatas, isto é mais difícil com as outras operações aritméticas, mas uma vez que a divisão não tem um papel tão proeminente no currículo, a proliferação de falsas aplicações é mais visível no que se refere à adição e à subtração de frações. " Tommy trabalha 2 7/ 12 horas de manhã e 1 2/3 horas à tarde. Quanto tempo ele trabalhou ao todo ? Uma receita pedia 7/8 de xícara de açúcar. Anita despejou 1/ 3 de xícara. Quanto açúcar mais ela precisa?" Não deve ser necessário explicitar em que sentido tais exemplos, tirados de textos populares, são falsos. Mas há também uma forma mais sutil de falsidade no qual as aplicações, que são perfeitamente genuínas como problemas da vida real, estão longe de justificar a atenção dada ao processo aritmético. Assim em um texto, a uns quarenta problemas para treino dedicado à subtração de números mistos envolvendo o calculo do menor denominador comum, o reagrupamento e simplificação (assim num exemplo fácil, 6 1/6 - 4 2/3 = 1 ½). Provavelmente para tornar mais agradável este exercício repulsivo, os problemas para treino são seguidos de problemas escritos que, por serem honestos, envolvem somente subtração de frações tendo 2, 4,ou 8 como denominadores.

b) Confusão com a função dos decimais:
Esta confusão aparece em dois níveis há a confusão entre frações e decimais como entidades matemáticas e uma confusão sobre suas utilidades em aplicações. Muitos textos declaram incluir lições elaboradas para mostrar como se converter frações em decimais. Na verdade, é claro, tal conversão é raramente possível, necessitando que a fração seja equivalente a uma cujo denominador tenha somente 2 e 5 como fatores. Este fato matemático fundamental é encoberto com o expediente de primeiro concentrar a atenção (mas não abertamente) em tais frações e então, dizer que em alguns casos o decimal resultante "não termina". Até o momento, todas as decimais tinham fim - e, é claro que tinham que terminar, dada sua definição. Decimais, os alunos já aprendem, podem ser somados, subtraídos e multiplicados por certos algoritmos elementares finitos. Decimais infinitos não podem. Desta forma, decimais infinitos são entes inteiramente novos, se é que eles realmente existem. (A crença de que decimais infinitos são decimais é semelhante à crença de que uma altura média é uma altura ou que uma família média é uma família). Contudo, o aluno é encorajado a escrever 1/3 = 0,333…Se ele (ou ela) perguntar o que os pontos significam, provavelmente lhe dizem que significam 333 e mais três pontos !

A respeito das aplicações, nós encontramos uma confusão semelhantes de papéis. Infelizmente é verdade que, devido a conservação, nos Estados Unidos, de uma alienado sistema de pesos e medidas, as vezes acontece que as medições são feitas usando frações. Contudo, de forma alguma é natural medir em frações com um grau preciso, exceto em casos especiais (1/2 polegada, ¼ de polegada, 1/8 de polegada, 1/16 de polegada). Medidas são efetuadas naturalmente em decimais, e um especial absurdo são as medidas na forma de frações com denominadores completamente diferentes. " Para ir à escola, Johnny caminha 3/10 de milha e anda de ônibus, 2 1/3 milha. Qual a distância até a escola ?" Não suficientemente distante eu responderia, se é esta a bobagem que ensinam lá. É claro que a disponibilidade de calculadora manuais enfatizam ainda mais a conveniência de decimais em medidas e cálculos.

Há uma tendência correlatada, também, de apresentar um problema decimal implícito como um problema de frações porque neste momento estamos "fazendo frações". "4 7/10 + 5 3/100 é um problema trivial se apresentado, honesta e corretamente como 4,70 + 5,03".

É claro, há uma interação entre frações e decimais, importante, mas esta é em grande parte ignorada por causa da absurda compartimentalização à qual a instrução matemática está sujeita. Não nos referimos a uma interação artificial que é encontrada muito freqüentemente, como em problemas. "Insira o sinal correto(<,>, =) entre 1/3 _ 0,31…"Mas é perfeitamente natural que seja pedido o calculo de ½ de 5,75 ou ¾ de 9,27 (inequivalência entre frações e decimais é atestada adequadamente pelo fato de que é muito anti - natural obter 0,5 de 5 74/100). Alem disso, muitos problemas, sobre compras, se dirigem naturalmente a divisão de decimais por frações. "O custo de um produto é composto pelo seu preço mais a taxa de venda de 7%. Se o custo é de 13,27, qual era o preço?" Nós precisamos dividir 13,27 por 107/100.

c) Ausência de cuidado com definições e explicações
Frações sempre começam sua existência como partes de inteiros. Neste estágio, eles certamente não são números, eles são coisas - 'metade de um bolo', 'três quartos de uma torta'. Alem disso, eles são por necessidade partes próprias. Num certo estágio nós passamos das coisas para quantidades ou medidas das coisas. Neste estágio nós podemos dizer que ½ = 2/4 e introduzir frações maiores que um. Contudo, nenhum dos textos comuns fazem essa transição explicitamente. Vamos dar um exemplo. Um texto, na sua introdução de frações, nunca subseqüentemente repudiada ou mesmo modificada, diz que a afirmação "3/8 das maças são vermelhas" que quer dizer "há oitos maças e três delas são vermelhas". Então se eu disser que metade das maças são vermelhas, eu quero dizer que há duas maças, uma das quais é vermelha!

Mais tarde sem nenhum aviso no Guia do Professor, a fração 3/2 é introduzida … como sempre estivesse estado ali. O que é que o estudante fará com isso?

Muitos textos (em minha experiência, todos menos dois!) procurando mostrar que ½ = 2/4, demostram-no exibindo a mesma porção de uma mesma região. Mas o que mostra é a igualdade de certas porções de regiões iguais - e, em outras palavras, uma afirmação sobre quantidades e não sobre coisas. Tente convencer um hamster que 5/5 de um hamster é o mesmo que um hamster ! A dificuldade que todos estes textos tem em explicar igualdades de frações é que nenhum deles é explicito sobre como uma fração torna-se um número. Nenhum texto que eu já vi (exceto o material do CSMP e RealMath, Open Court Publishing Co.) introduz o termo número racional. Ao é mais idéia difícil - certamente muito mais fácil do que decimais periódicas, um tópico favorito - e é fundamental. Com a ajuda, diferente das frações. Sem a noção de número racional parece-me impossível explicar devidamente razoes. Assim, um texto comum diz que ma razão "e um par de números". Se seis itens custam $89 então 'a razão para 89 nos dá o preço unitário'. A uma discussão de "razoes iguais" - provavelmente, pares iguais de números. Em nenhuma parte deste texto as razoes são relacionadas como frações e certamente que não como números racionais. Então pode não haver "simplificação" de razões.

Uma grande vantagem da introdução de números racionais explicita-se, e distingindo-os de frações, e que se pode então, discutir operações com frações que não são operações com números racionais. Talvez o mais importante exemplo e a operação

 A  Å   C  =  A Å C
 B  D B Å D

O tratamento tradicional desta operação e simplesmente dizer aos alunos que esta não e a regra de adição. E, contudo, uma operação com frações perfeitamente boa e muito importante, como saberia qualquer pessoa que tenha estudado medias de jogadores de baseball. Medias são tratadas em muitos textos, e claro, mas seu tratamento e usualmente deformado pelo artificio, que mencionaremos abaixo, de "ajeitar os números de modo que a media de uma coleção de números inteiros seja sempre inteiro!" Isto contudo, invade o terreno do próximo defeito que identificamos.

d) Desonestidade de apresentação:
Este defeito deve ser distinguido do de aplicações falsas, ainda que haja algumas sobreposições. Nós nos referimos aqui a artifícios tais como afirmações de objetos grandiloqüentes. "Multiplicar um número inteiro por uma fração com o denominador um" - mas descobrimos que o que aluno esta aprendendo e tomar uma fração (unitária) de um número inteiro e somente pode tomar a fração se o resultado também for um número inteiro - na realidade, um caso raro mas um artificio comum na ficção curricular, Em nenhum lugar do texto e mencionado que estamos lidando com um caso muito particular de um problema geral. Em outro lugar do texto, o objetivo "escrever frações como porcentagem" simplesmente se referem a frações com denominador cem!

Um outro exemplo de desonestidade e simplesmente escrever "1/3 x 12" abaixo de "1/3 de 12" e deste modo afirmar que estamos aprendendo a multiplicar frações. Não existe explicações de porque nós chamamos multiplicação o processo de achar 1/3 de 12. Um outro texto adota um artificio diferente porém ainda mais fraudulento - - tendo demostrado que 12 x 13 = 4 por adições repetitivas na linha seguinte da que 1/3 x12 = 4 sem nenhuma explicação.

A desonestidade complementar também e encontrada freqüentemente. O texto demonstra, recolocando pedaços de retângulo, que ½ X 1/3 = 1/6. Então escreve que ½ X 1/3 = (1x1) (2x3)= 1/6, e conclui que em multiplicação de frações basta multiplicar os numeradores e os denominadores. É razoável duvidar que o aluno, observando que ½ x1/3 =1/6, percebesse estar multiplicando 1x1 para obter 1!

Um exemplo final de desonestidade precisa - e deveria - ser suficiente. Para somar duas frações, dizem-nos que devemos achar o menor denominador comum (uma frase imbecil, uma vez que nós somente temos que achar o menor denominador comum quando as frações envolvidas não tem um denominador comum). Isto e normalmente apresentado em três estágios. Primeiro, se as frações tem o mesmo denominador este e o menos denominador comum. Segundo, se um denominador e múltiplo do outro, utilize-o como menor denominador comum. É o terceiro estágio que e menos explicito. Muitos textos dão imediatamente exemplos como 2/7 + 5/12 e dizem que "use 7 x 12". Outros dão exemplos com 34 + 56 e dizem "tentem 12". Contudo, não ha menção de nenhum processo sistemático, nenhuma sugestão mesmo para dizer quando você deve multiplicar os dois denominadores. O aluno e levado a acreditar que lhe foi ensinado um procedimento e que o aprendeu, mais isso não e verdade.

e) Paixão pela ortodoxia
Este mal que atinge todo o currículo tradicional de matemática e peculiarmente fatal para o efetivo ensino de frações. Nós encontramos em um texto que frações impróprias deveriam ser rescritas como números mistos. Por que Se eu tenho que calcular ¾ de (2/3 + 2/3), e um progresso reescrever ¾ de 4/3 como ¾ de 1 1/3 ? Um outro texto insiste que frações devem ser "simplificadas" é claro, o que quer dizer e "reduzidas" uma vez que e um ponto de vista altamente subjetivo dizer que 46/100 está simplificado quando é escrito como 23/50. Mas será sempre útil reduzir} Há um exemplo ridículo no mesmo texto onde achamos um inteiro dividido em 3 porcentagens, 45%, 40%, e 15%. A instrução e, primeiro, expressar essas porcentagens na forma de frações - simplificadas é claro - e então somar as frações. Não há nenhuma menção de que isto [e um modo absolutamente maluco para verificar que porcentagens são compatíveis com uma partição, e do mesmo modo não é mencionado, como a honestidade deveria obrigar a dizer, que é muito mais fácil somar as frações se elas não forem antes simplificadas.

Ao concluir esta seção, deixem-me estabelecer alguns pontos. Claramente, os defeitos que me referi tem suas contrapartidas - e mesmo seus exemplos - em outros domínios da Matemática elementar. Obviamente, também há outros defeitos no currículo que não mencionamos embora eles inflijam um grave dano ao ensino de frações. Estes defeitos não nos pareceram relacionados tão de perto com o ensino de frações quanto os cinco que nós discutimos. Contudo, eles também são sérios - e um é especialmente serio, mas tanto quanto eu saiba, em nenhuma parte é mencionado explicitamente, então eu não me desculpo por menciona-lo aqui. Contudo, eu serei breve.

Uma proporção substancial do ensino elementar de Matemática se constitui de revisão e é bom que seja assim. Meus leitores certamente estarão tão familiarizado com as múltiplas razoes para isto quanto eu. Mas a revisão (com as duas exceções vistas acima) parece sempre constituir uma revisão de regras e manipulações e nunca de explicações. Deste modo se instala insidiosamente na criança a idéia de que memória e exatidão são os principais componentes do sucesso matemático, e desta maneira o estudo da Matemática, e de uma área delicada como a aritmética de frações, é prejudicado, em muitos casos sem esperança de conserto


3. Ingredientes para um bom curso de frações

Como foi apontado na introdução, muito do que nós poderíamos dizer sob este título se deduz facilmente do conteúdo da seção anterior. Nós somente repetiremos aqui, nossa crença de que devemos introduzir explicitamente os números racionais (nós nos referimos aqui aos racionais positivos; o conjunto todo dos racionais aparecerá, é claro, uma vez que os números negativos sejam introduzidos) - e que não haveria dificuldades em faze-lo. Vamos então falar nesta seção de números racionais onde cabe (isto não significa que daqui em diante nós evitaremos toda menção a frações!).

Nós deveríamos apresentar a multiplicação como uma operação básica com números racionais. Isto é matematicamente correto já que os números racionais surgem do desejo, ou necessidade, de inverter a multiplicação; e é correto na prática porque é mais fácil encontrar aplicações na vida rela da multiplicação de frações. A divisão por números racionais não apresenta nenhum problema real, matematicamente falando, mas é mais difícil encontrar aplicações convenientes. Há questões do tipo "quanto?" que pedem divisões de frações mas nas quais a resposta é obtida arredondando-se o quociente para cima ou para baixo, para um número inteiro. Há outras questões (por exemplo, o preço antes de um imposto ou antes de uma redução percentual) que levam a divisão de decimais por frações. Desta maneira nós devemos admitir honestamente que a divisão exata de números racionais por números racionais não é uma ferramenta prática muito importante, certamente não se comporta como a multiplicação.

A adição de números racionais deveria ser tratada depois da multiplicação, sendo uma operação bem menos importante em frações. Os melhores exemplos vem da teoria elementar de probabilidade, onde a probabilidade de uma disjunção completa de dois eventos (mutualmente exclusivos) é a soma das probabilidades dos dois eventos. Deve ser notado, contudo, que nesta aplicação as duas probabilidades tendem naturalmente a ser representadas por frações com o mesmo denominador. Deste modo, se eu atiro dois dados e somo os números das faces de cima, a probabilidade de obter 4 é 3/36 e a probabilidade de obter 8 é 5/36 de modo que a probabilidade de obter 4 ou 8 é 8/36. Seria perverso expressar a primeira probabilidade como 1/12 e assim complicar a tarefa de somar as frações-simplicidade não reside na fração mas no processo aritmético no qual se usa a fração. Mesmo apresentar a resposta como 2/9 é desnecessário e talvez irracional, se, por exemplo, quisermos comparar a probabilidades de obter 4 ou 8 com a probabilidade de obter 7.

Um grande vantagem dos cálculos típicos de probabilidade é que eles freqüentemente envolvem, simultaneamente, adição e multiplicação de números racionais. Contudo, não deveríamos estar dando a (falsa) impressão de que deveríamos ensinar teoria da probabilidade para dar uma finalidade ao nosso trabalho com frações. Nós deveríamos ensinar teoria da probabilidade porque é útil e importante para o dia-a-dia do cidadão; e precisamos da aritmética das frações para fazer a teoria da probabilidade. (É nossa experiência que adultos, tendo lutado melancolicamente e sem sucesso com frações, na infância, podem adquirir a competência, confiança e interesse ao reaprender frações no contexto da teoria de probabilidades)(1).

A subtração de frações é de muito menos importância na pratica do que a adição de frações e isto novamente deveria ser honestamente admitido. Há aplicações naturais para a subtração de frações simples, mas a principal justificativa para se gastar tempo com este tópico é que isto é matematicamente importante. Eu acredito que tal justificativa é válida - mas não justifica a ênfase demasiada neste tópico, nem o monótono trabalho realizado para inculcar confiança na execução do que não passa de um algoritmo banal.

Devo refutar aqui, um argumento freqüentemente apresentado para justificar o ensino de aritmética de frações - o de que constitui o protótipo para a álgebra de funções racionais. Se este argumento (apresentado, por exemplo, por Morris Kline em seu livro, Por que o professor não sabe ensinar) apenas significa que dominar a aritmética de frações será vantajoso par o aluno se ele ou ela alcançar o nível da álgebra das funções racionais em questão, então não pode ser negado. Mas se isto significa ou (a) que esta deveria constituir a motivação explícita para o estudo da aritmética de frações é essencial para o posterior estudo das funções racionais, então eu devo discordar. (Morris Kline parece defender o argumento em ambos os sentidos de a e b). Quanto a (a), não acredito de forma alguma no tipo de motivação "pie in the sky". Pedir a um aluno que pacientemente aprenda uma técnica sem sentido e monótona, na expectativa de alguma recompensa numa data futura não especificada, é adotar uma estratégia de ensino ao mesmo tempo imoral e ineficaz. Quanto a (b), parece-me não haver necessidade de um longo e minucioso estudo da adição e subtração de frações como uma preparação para o estudo de funções racionais alguns anos mais tarde. Tudo que é necessário é expor as idéias; as técnicas, bem como a explicação de sua validade, deveriam ser discutidas numa revisão preliminar à introdução das operações correspondentes no campo das funções racionais.

Há dois pontos adicionais a mencionar nesta questão. Primeiro, a intuição deveria desempenhar um papel muito maior na aritmética de frações do que na álgebra de funções racionais. Não se deseja que um aluno calcule ½ + ½, ou mesmo ½ + ¾, com auxílio da regra para calcular a/b + c/d. Desta maneira, nos casos mais importantes, o de algoritmo não será usado. Segundo, há uma diferença importante entre os dois tópicos. Um aspecto muito importante da álgebra de funções racionais é a expansão em frações parciais. O processo análogo para números racionais é muito menos importante, e nem sequer é único. Deste modo 1/6 = 2/3 - ½ = ½ -1/3. É claro, o momento oportuno par tratar esta questão, e par considerar a razão par os diferentes comportamentos nos dois casos, é quando se está estudando funções racionais.

Há mais uma característica do conjunto dos números racionais que comumente é tratada nos livros - como deve ser. Eu me refiro ao fato de que números racionais são ordenados pela magnitude. Contudo, a notação decimal é muito mis adequada para comparações deste tipo do que a notação fracionária; é óbvio, por observação, que 26,524 é maior que 26,518 mas nada óbvio que 60/19 é maior que 22/7. Aqui percebemos uma ironia. Há um método chamado multiplicação em cruz, que é um algoritmo inteiramente seguro para determinar qual dos dois números racionais é maior. É baseado no principio (3.1) a/b > c/d se e só se a x d > b x c.

Mas este princípio não é usado nos livros atuais, em vez disso o princípio (3.2) a/b >=c/d se e só se a x d = b x c é usado para testar se duas frações são "iguais" (na verdade, a situação é pior. Em geral, o que lemos é que se duas frações são iguais, seus produtos cruzados são iguais, e depois vemos que o que é usado é a reciproca, não enunciada. A sentença citada também é repreensível porque parece dizer que uma fração tem um produto cruzado.) Ora é raro o caso em que o método mais rápido e fácil par testar se duas frações são iguais, é o de usar (3.2); pois duas frações iguais muito provavelmente terão denominadores que são "estritamente aparentados", multiplicativamente, então será relativamente fácil reduzi-los à mesma fração. Por outro lado, acontecerá freqüentemente que (3.1) forneça o teste mais rápido para se verificar se a/b > c/d, especialmente se uma calculadora estiver disponível.

Há muito mais a ser dito; mas par mantermos este artigo com um comprimento razoável, e proporcionar a outros algo de que possa discordar fortemente, permitam-me terminar lembrando que há importantes características matemáticas do conjunto dos números racionais que devem ser exibidas, discutidas e exploradas no currículo. Eu não digo, é claro, que sejam tópicos adequados nos seis primeiros anos, de fato, começarei minha discussão assumindo que os alunos tenham bastante familiaridade com números negativos. Faço isto em grande parte para simplificar minha própria exposição, e o leitor, espero, verá imediatamente que algumas das minhas observações ainda seriam significativas mesmo se os alunos não estivessem familiarizados com números negativos.

Primeiro, acredito que é importante mostrar que o conjunto Q dos números racionais é fechado para as quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão por números diferentes de zero) e é o menor conjunto contendo a unidade que tem essa propriedade. Deste modo ele representa uma espécie de realização matemática completa - mas uma realização duramente prejudicada pela descoberta de Pitágoras das raízes quadradas irracionais (é claro que a geometria precisa "entrar" em toda a matemática). É importante, aqui, fazer a distinção entre o fato de que podemos realizar qualquer das operações com elementos de Q e ficar dentro de Q e qualquer técnica particular para efetivamente calcular e expressar o resultado de uma operação.

Segundo, sugiro que deveríamos olhar para certos subanéis de Q, em particular, os subanéis Zp, onde P é uma família de números primos e Zp é o conjunto de números racionais que podem ser expressos como frações a/b com b primo a p. É interessante fazer "a fatoração em fatores primos em Zp ao invés de somente no anel dos inteiros Z. Além disso, é então possível fazer uma extensão muito interessante da bonita "prova dos nove". Este artifício envolve o homomorfismo de anéis q: Z ® Z/9, onde Z/9 é o anel dos inteiros modulo 9. Nós usamos Z/9 porque nosso sistema de numeração decimal torna particularmente fácil calcular por 'adição de dígitos'. Se F é uma fórmula em Z, então q(F) é uma formula em Z/9 e q(F) é verdadeira se F é verdadeira. Por outro lado, formulas em Z/9 são muito mais fáceis de verificar do que fórmulas em Z, então a facilidade de calcular e verificar fórmulas em Z/9 faz da "prova dos nove" uma ferramenta muito valiosa para verificar os cálculos; se a formula q(F) é falsa, então necessariamente a fórmula F é falsa.

Meu ponto é que q estende-se naturalmente a um homomorfismo de anéis q: Z3 ® Z/9; aqui (se q consiste de um único primo p, nós escrevemos Z3 em lugar de Zp) Z3 é o anel de números racionais expressos como frações a/b onde b não é divisível por 3. Isto significa que nós poderemos usar a prova dos nove para verificar qualquer cálculo envolvendo a adição, subtração e multiplicação de frações, desde que nenhuma fração em nosso calculo tenha um denominador divisível por 3. Vamos ver um exemplo:

Exemplo1:

Verifique 5 13/28 + 14 71/220 = 19 303/385. Nós tiramos a prova dos nove. Ora, 5 13/28 º 5 + 4/1 º 0; 14 71/220 º 5 + 8/4 º 7, 19 303/385 º 1 + 6/7 º 1 + (6x4) º 7, e 0 + 7 = 7. Note que usamos o fato de que 4x7 º 1 para inferir que 1/4 º 7 e 1/7 º 4.

Quase tão fácil quanto a prova dos nove é a prova dos onze (detalhes veja (2)). Agora temos um homomorfismo de anéis q: Z11 ® Z/11. Nós podemos em simplicidade usando a prova dos onze em vez da prova dos nove, mas ganhamos porque é mais provável que frações encontradas ao acaso tenham denominadores divisíveis por 3 do que por 11. De novo, nós daremos um exemplo para mostrar o método.

Exemplo2:

Verificar 6 12/29 x 2 3/71 = 13 7 /71. Usando a prova dos onze. Ora, 6 12/29 º 6 + 1/7 º 6 + 8 º 3; 2 3/71 º 2 - 1/2 º 2 - 6 º 7 ; 3 7/71 º 2 - 7/6 º 2 - (7 x 2) º 10 e 3x7 º 10 Note que o resto por onze é dado pela soma alternada dos dígitos (começando pela direita); e que nós usamos a congruência 2x6 º 1 para inferir que 1/2 º 6 e 1/6 º 2.

Pode-se objetar que, tendo censurado o uso de cálculos sem objetivo, envolvendo frações, nós agora estamos usando calculo com um pretexto para discutir a prova dos nove e onze. Nossa resposta é que estamos exemplificando ema regra prática de grande importância na matemática - tentar resolver problemas simplificando a situação (nós poderíamos também alegar que é muito divertido fazer estes cálculos; e diversão é um elemento essencial no sucesso do currículo matemático). Isto, afinal, é o ponto central quando se quer fazer aplicações matemáticas efetivas, é nós - e os alunos -- estamos, aqui, vendo o principio em ação dentro da própria matemática.


Referências:

1. Peter Hilton e Jean Pederson, Fear no more: An adult approach to Mathematics, Addison Wesley (1981).

2. Peter Hilton e Jean Pederson, 'Casting out 9's revisited'.

 
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